【Robotics】机器人学导论

基础知识

基本部件：机械手、末端执行器、驱动器（肌肉）、传感器、控制器、处理器、软件

自由度

一般有6个自由度。3个用来确定空间中的位置，3个用来确定姿态

坐标系

1、基坐标系（Base Coordinate System）
2、大地坐标系（World Coordinate System）
3、工具坐标系（Tool Coordinate System）
4、工件坐标系（Work Object Coordinate System）

位置运动学

1.n、o、a坐标轴

n=normal (垂直后面两种轴), 【o=orientstion(图中y轴), a=approach(用来接近物体，z轴)】
用$F_{n,o,a}$表示

在固定参考坐标系原点表示

坐标系是在原点的，只不过旋转之类的变换过了

$F=\left[ \begin{matrix} n_x & o_x & a_x \\ n_y & o_y & a_y \\ n_z & o_z & a_z \end{matrix} \right] \tag{3}$

在固定坐标系的非原点表示

相对坐标系不在原点。需要加第4个位置向量

$F= \left[ \begin{matrix} n_x & o_x & a_x & p_x\\ n_y & o_y & a_y & p_y\\ n_z & o_z & a_z & p_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \tag{3}$

前3个为0表示是方向向量，第4个为1表示是位置向量（使用比例因子为1）
空间中的一个3维物体也可以用上面的矩阵表示

条件限制：3个向量n o a相互垂直，也就是点积为0
每个旋转向量是单位向量

变换的表示

平移矩阵

左乘

$T= \left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& d_x\\ 0 & 1 & 0 & d_y\\ 0 & 0 & 1 & d_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \tag{3}$

旋转矩阵

绕X轴旋转。
左乘

$R_{ot}(x,\theta)= \left[ \begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0 & cos \theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta& cos\theta \end{matrix} \right] \tag{3}$

绕y轴旋转。
左乘

$R_{ot}(y,\theta)= \left[ \begin{matrix} cos \theta& 0& sin\theta\\ 0 & 1&0 \\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{matrix} \right] \tag{3}$

绕z轴旋转。
左乘

$R_{ot}(z,\theta)= \left[ \begin{matrix} cos \theta& -sin\theta& 0\\ sin\theta & cos\theta &0 \\ 0 & 0&1 \end{matrix} \right] \tag{3}$

相对运动坐标系的变换

相对当前坐标系的变换
需要把变换矩阵右乘后，这一堆矩阵左乘要变换的坐标

矩阵逆的快速运算

1.旋转矩阵

$Rot(x,\theta)^{-1}=Rot(x,\theta)^T$

2.平移矩阵

$T= \left[ \begin{matrix} n_x& o_x& a_x& p_x\\ n_y & o_y & o_y & p_y\\ n_z & o_z & a_Z & p_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \tag{3}$

正逆运动学

正运动学:已知所有关节变量，通过正运动学方程计算机器人某时刻的位姿
逆运动学:知道一个位姿，确定所有关节变量

正逆运动学方程

1.直角坐标
所有驱动机构都是线性的
就是利用平移矩阵T
2.圆柱坐标
1个旋转 2个线性运动
分为3步：
沿x轴移动r,绕z轴旋转$\alpha$,沿z轴走l.
3.球坐标
2个旋转，1个线性运动
先平移r,再绕y轴转$\beta$,再绕z轴转$\gamma$
4.链式坐标
由3个旋转组成
公式后面推导

RPY变换

绕a轴(x)旋转 ->滚动
绕o轴(y)旋转->俯仰
绕n轴(z)旋转->偏航

x走指向正面，于是
绕x轴转就是横滚(Roll)
绕y轴就是俯仰(Pitch)
绕z轴就是偏航(Yaw)

于是变换可以看做 $^RT_H=T * RPY$

欧拉变换

$Euler(\phi,\theta,\psi)=Rot(a,\phi)Rot(o,\theta)Rot(a,\psi)$

求姿态矩阵同样，左乘一个逆，解方程

用于直角坐标:$^RT_H=T(p_x,p_y,p_z)RPY(\phi_a,\phi_o,\phi_n)$
用于求坐标:$^RT_H=T(r,\beta,\gamma)Euler(\phi,\theta,\psi)$

正运动学D-H表示

首先为关节建x和z轴（不用y）
建模步骤：
1.所有关节用z轴表示，是旋转的话是右手规则的旋转方向，滑动的话是直线运动方向
2.编号n-1,n,n+1….
3.找z轴公垂线，连起来
4.考虑变换 $x_n-z_n -> x_{n+1}-z_{n+1}$
4.1 让x姿势一致：绕$z_n$旋转$\theta_{n+1}$
4.2 让z重叠: 沿$z_n$平移$d_{n+1}$
4.3 让x重叠: 沿x轴移动$a_{n+1}$
4.4 让z对准: 绕$x_{n+1}$旋转$\alpha_{n+1}$

$^nT_{n+1}=A_{n+1}=Rot(z,\theta_{n+1})Trans(0,0,d_{n+1})Trans(a_{n+1},0,0)Rot(x,\alpha_{n+1})$

有多少个关节就有多少个A乘起来
为了简化计算
画参数表

#	$\theta$	d	a	$\alpha$
0-1
1-2
2-3

逆运动学解

一般解：

$^RT_H=A_1A_2...A_6=[RHS]$

左乘一个逆。解方程

微分运动和速度

$\left[ \begin{matrix} \delta_{Y_1}\\ \delta_{Y_2}\\ .\\ \delta_{Y_n} \end{matrix} \right]=[ 雅可比矩阵][关节微分运动]$

也就是

$[D]=[J][D_\theta]$

两边/dt就是速度微分关系(运动微分方程->速度微分方程)

微分平移

一样，位姿矩阵B左乘个平移矩阵就行

微分旋转

利用以下等式替代

$sin \delta x=\delta x\\cos \delta x=1$

然后也是左乘旋转矩阵
在微分旋转中，由于微分量很小，可以认为相乘的顺序不重要

绕轴q的微分旋转

可看作是绕3个轴的微分旋转而成

$(d\theta)q=(\delta x)i+(\delta y)j+(\delta z)k$

于是

$Rot(q,d\theta)=Rot(x,\delta x)Rot(y,\delta y)Rot(z,\delta z)$

结果中可以忽略高阶微分（也就是多个微分量相乘的项）

坐标系的微分

$[T+dT]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(q,d\theta)][T]\\ [dT]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(q,\theta)-I][T]\\ [dT]=[\Delta][T]$

$\Delta$也叫微分算子

坐标系间的微分变化

$[dT]=[\Delta][T]=[T][^T\Delta]\\ ->[T^{-1}][\Delta][T]=[T^{-1}][T][^T\Delta]\\ [^T\Delta]=[T^{-1}][\Delta][T]$

$^T\Delta$是相对于当前坐标系的微分算子，$Delta$是相对于固定参考坐标系的
有$$
T= \left[
\begin{matrix}
n_x& o_x& a_x& p_x\\
n_y & o_y & o_y & p_y\\
n_z & o_z & a_Z & p_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right] \tag{3}

$和$

\Delta= \left[
\begin{matrix}
0& -\delta z& \delta y& dx\\
\delta z & 0 & -\delta x & dy\\
-\delta y & \delta x & 0 & dz\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right] \tag{3}

$#####雅克比矩阵计算每行是对应一个参数的运动学方程 $dp_i=[vartheta]$ $[dT_i]=[\Delta][T_i]$ #####雅克比求逆 $$[D_\theta]=[J^{-1}][D]$

动力学分析和力

拉格朗日力学

$L=K-P\\T_i=\frac{\vartheta}{\vartheta {t}}(\frac{\vartheta L}{\vartheta \dot{\theta_i}})-\frac{\vartheta L}{\vartheta \theta_i}\\F_i=\frac{\vartheta}{\vartheta {t}}(\frac{\vartheta L}{\vartheta \dot{x_i}})-\frac{\vartheta L}{\vartheta x_i}$