【矩阵论】Lambda Matrix and Jordan standard form

Lambda Matrix

$$A(\lambda)= \left[ \begin{matrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & a_{13}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & a_{23}(\lambda) \\ a_{31}(\lambda) & a_{32}(\lambda) & a_{33}(\lambda) \\ ... \end{matrix} \right] \tag{Lambda matrix}$$

$a_{ij}(\lambda)$为多项式函数
$\lambda$是一个未定元，当取具体的数时，就变成数值矩阵

Smith Standard From

消元，只保留对角元素，其余全部弄成0

$$A(\lambda)\backsimeq \left[ \begin{matrix} d_{1}(\lambda) & 0 &0 ...\\ 0 & d_{2}(\lambda) & 0 ...\\ 0 & 0 & d_{3}(\lambda) ...\\ 0 & 0 & 0... & 0\\ ... \end{matrix} \right]$$

其对角元素称为不变因子

Determinant factor(行列式因子):

k阶行列式因子是矩阵中所有非零的k阶子行列式首项系数为1的最大公因式
求法见下面
初等因子:
求A的初等因子:
$\lambda I-A$变为Smith Standard Form，不为1的不变因子就是初等因子
初等因子可以反推行列式因子

Jordan Chunk

$$J_i= \left[ \begin{matrix} \lambda_i& 1 & \\ & \lambda_i & 1 \\ & & \lambda_i \\ ... \end{matrix} \right]$$

初等因子只有$(\lambda-\lambda_i)^n$

Jordan Standard Form

若尔当标准型求法
从高到低求出$D_i$(行列式因子)
例子：

$$A= \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 2 &1\\ 6 & 1 & 4 & 4\\ 10 & 0 & 0&4\\ 7 & 0 & -7 & 2\\ \end{matrix} \right]$$

先求$D_4=det(A)=(\lambda-2)(\lambda-1)^3$
接下来求$D_3$:
先随便求两个3阶行列式。
比如去掉4,4的$M_{(4,4)}$
和去掉1,2的$M_{(1,2)}$
发现最大公因子为1.于是
$D_3=1$
D2\D3同理
于是就得到了初等因子$(\lambda-2)(\lambda-1)^3$
然后就可以画出矩阵了
可以看到$\lambda$有2个取值，于是有2个若尔当块，一块对角线上是2，一块对角线上全1

$$J= \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 &0\\ 0& 1 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1&1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]$$