【矩阵论】Geometric Theory of Matrix(矩阵的几何理论)

Linear operator in Linear Space(线性空间上的线性算子)

Linear Space(线性空间):里面的元素对线性运算封闭。当里面的元素为矩阵时，也叫矩阵空间(Matrix Space)
零空间维数是0（只有0向量）
解空间:基础解系构成解空间的一组基
自然基:相互正交的，只有一位为1的向量
坐标变换(Coordinate transformation):

$$E'=EC \quad C为过渡矩阵(transition\quad matrix)\tag{基变换，右乘C}$$ $$x'=C^{-1}x\tag{坐标变换,左乘C逆}$$ $$V_1\cap V_2=\{0\}时V_1+V_2写成V_1\oplus V_2$$

线性算子(linear operator)

就是一个线性映射（也可以用一个矩阵A来表示）

$$\mathscr{A}(M)\subseteq M'$$

同构算子(isomorphism operator):一对一映射
$A^H$表示共轭转置，也就是把每个元素都取共轭值，再转置

相似矩阵

$$B=C^{-1}AC$$

意义是A、B可以看成同一个线性变换在不同基下的矩阵

性质:
拥有相同的特征多项式,相同的特征值

相抵矩阵

$$B=DAC$$

D,C都是非奇异的

合同\相合矩阵

$$B=C^TAC$$

对角化

可对角化的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。也就是各特征值几何重复度=代数重复度
亏损矩阵:n阶矩阵的特征向量<n

$$C^{-1}AC=diag(...)$$

C的求法：先求特征值，然后求出特征向量，然后按列摆在一起

正交化

Schmidt orthogonalization

1.$y’_1=x_1$作为第一个
2.$y’^2=x_2-\frac{(x_2,y’_1)}{(y’_1,y’_1)}y’_1$
3.$y’^3=x_3-\frac{(x_3,y’_2)}{(y’_2,y’_2)}y’_2-\frac{(x_3,y’_1)}{(y’_1,y’_1)}y’_1$
….

正交矩阵:

$$A^TA=AA^T=I$$

初等反射矩阵(Householder Transformation)

$$H=I-2ww^T$$

对称变换(Symmetric Transformation)

$$(\mathscr{A}(x),y)=(x,\mathscr{A}(y))$$

正定矩阵

特征值非负
充要条件

$$A=P^HP$$

Hermitian Matrix

$$A^H=A$$

瑞利熵

$$R(x)=\frac{x^HAx}{x^Hx}$$

A为Hermitian矩阵(n*n)
性质：最大值=矩阵最大特征值，最小值=矩阵最小特征值