【矩阵论】赋范线性空间与矩阵范数

向量范数

$$||x||_p=(\sum_i |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$

其中

$$||x||_\infty=max_i|x_i|$$

性质

$$||xy||_p\le||x||_p ||y||_p$$ $$||x+y||_p\le||x||_p+||y||_p$$

矩阵范数

性质同向量范数
算法是每个元素绝对值的p次方和再开p次方

一些矩阵范数

$\rho$:谱半径：最大的特征值

谱范数

$$||A||_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^HA)}$$

行范数

$$||A||_\infty=\max _i\sum_j{|a_{ij}|}$$

找最大行和

列范数

$$||A||_1=\max _j\sum_i{|a_{ij}|}$$

找最大列和

摄动分析

就是分析方程组微小的扰动是否会对解尝试重大影响。是的话就是病态矩阵
可以利用范数分析

$$A(x+\delta x)=b+\delta b\\\delta x=A^{-1}\delta b\\||\delta x||\le||A^{-1}||||b||\\\frac{||\delta x||}{||x||}\le ||A^{-1}||||A||\frac{||\delta b||}{||b||}$$