【矩阵论】矩阵微积分

向量序列的敛散性

$x^{(k)}$是一个向量序列

依范数收敛

$$\lim_{k->+\infty}||x^{(k)}-x||_p=0$$

依坐标收敛

$$\lim_{k->+\infty}x^{(k)}_i=x_i$$

矩阵序列的极限

同理

依范数收敛

$$\lim_{k->+\infty}||A^{(k)}-A||_p=0$$

依坐标收敛

$$\lim_{k->+\infty}A^{(k)}_{ij}=A_{ij}$$

矩阵函数

矩阵函数值求法

1.找特征多项式
2.找特征值,特征向量形成C
3.求C,C^{-1}
4.特征值代入原函数形成对角阵
5.$f(A)=Cdiag(…)C^{-1}$

A为亏损矩阵的情况:

$$f(A)=T*f(J)*T^{-1}$$

1.先求特征值，特征多项式
2.找诺尔当标准型
3.对于代数重数不等于几何重数的，多求广义特征向量。形成T

$$f(J_i(\lambda_i))= \left[ \begin{matrix} f(\lambda_i) & f'(\lambda_i) & \frac{1}{2!}f'''(\lambda_i) &...\\ & f(\lambda_i) & f'(\lambda)& \frac{1}{2!}f'''(\lambda_i) \\ & & f(\lambda_i) & f'(\lambda)\\ ... \end{matrix} \right]$$

矩阵微积分

导数

普通函数f对向量x求导

结果是一个向量，每个元素是f对x_i求导的结果

普通函数f对矩阵A求导

结果是一个矩阵,每个元素是函数对$a_{ij}$求导的结果

矩阵F对矩阵A求导

结果是一个矩阵的矩阵
每个元素是矩阵F对A中元素$a_{ij}$求导得到的矩阵

矩阵的全微分

就是为每个元素加了一个算子d

微分方程

$$\frac{d\vec x}{dt}=A\vec x$$

A是系数矩阵

$$\vec x=(x_1(t),x_2(t),....)$$

每个元素是一个函数

这是一阶齐次线性微分方程
解的形式必定是

$$x=e^{At}x(0)$$

解法
1.求特征值和特征向量
2.化$e^At$为Pdiag(…)P^{-1}形式，P是已求的特征向量矩阵

一阶非齐次线性微分方程组

$$\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)\\x|_{t=t_0}=x(t_0)$$

1.先按齐次方程求通解
2.加个积分$I=\int_0^te^{At}f(z)dz$