【矩阵论】矩阵分解
酉矩阵:$U^HU=UU^H=E_n$
QR分解
要求:A满秩
目标：把矩阵分解成一个**正交矩阵Q**，一个**上三角阵R**
$$A=QR$$
在复数上推广,Q换成酉矩阵U也一样
$$A=UR$$
**分解过程:**
1.判断A是否可分解（满秩）
2.把A按列分块$A=(x_1,x_2,x_3)$,**正交化**为$y_1,y_2,y_3$,**单位化**为$z_1,z_2,z_3$
$$Q=(z_1,z_2,z_3)$$
$$\begin{equation}
R={
\left[ \begin{array}{ccc}
||y_1|| & (x_2,z_1) & (x_3,z_1)\\
0& ||y_2|| & (x_3,z_2)\\
0 & 0 & ||y_3||
\end{array}
\right ]}
\end{equation}$$
原理就是
B是一个映射，让A正交化
于是有
满秩分解
要求：任意矩阵A,分解不唯一
目标:$$A=FG$$
**分解过程**
1.把A化为简化阶梯型
2.求F：找出单位列向量组成F
3.求G：找非0行
奇异值分解
要求：任意矩阵A
分解过程:
1.找出奇异值：计算$A^HA$的特征值，从大到小排，开个根号就是奇异值了，然后所有**奇异值**构成对角阵$S_r$
求$C^TC$的特征向量，也就是V
求$CC^T$的特征向量，也就是U
$$A=U\sum V^H$$
谱分解
N阶方阵An×nAn×n的n个特征值称为A的谱（谱分解是对于单纯矩阵而言的）
谱分解步骤：
1.求A的特征向量，构成矩阵$P=(X_1,X_2,…,X_n)$
2.求$P^{-1}$
!!!!
LU分解
方法：按行消元。成上三角矩阵U
原理: