【控制论】制御理論

力学系をフィードバック制御する

微分オペレーター
$s=\frac{d}{dt}$
[例]
$ms^2x(s)+csx(s)+kx(s)=f(s)\\x(s)=\frac{1}{ms^2+cs+k}f(s)$
$\frac{1}{ms^2+cs+k}$は伝達関数

RLC电路
$L\frac{d^2q(t)}{dt^2}+R\frac{dq(t)}{dt}+\frac{1}{C}q(t)=v(t)$

制御系設計とは、複素数とラプラス変換

AB并联=>$\frac{A}{AB+1}$
Loop transfer function:化简为仅有一个函数和一个反馈环的图

閉ループ伝達関数:$\frac{L}{1+L}$

制御で用いるラプラス変換の重要な性質,LTIシステムの表現１(convolution と伝達関数)

ラプラス変換性質

• linear
  

• scaling
  

• delay
  

• move
  
• 微分
  
• int
  
• convolution
  $$y(t)=g(t)*u(t)=\int_0^tg(\tau)u(t-\tau)d\tau$$
• 最終値定理
  

线性时不变系统(LTIシステム)

インパルス応答($g(t)$):给一个LTI一个单位脉冲信号，他的输出
知道impluse应答后，对于任意的信号输入，都可以利用卷积定理求输出

ステップ応答($u_s(t)$)：

伝達関数

$G（s）=Y（s）/U（s）$
一般$G(s)$

附:フリーエ変換のいくつかの形式

• (连续时间(非周期)，连续频率)->傅里叶变换(FT) $$X(\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\omega t}dt$$
• (连续时间，离散频率）->傅里叶级数(FS) $$X(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt$$
• (离散时间,连续频率) ->离散时间傅里叶级数 (DTFT) $$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$$
• (离散时间,离散频率) -> 离散傅里叶级数 (DFS) $$\tilde X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde x(n)e^{-j{\frac{2\pi}{N}} kn}$$