[排队论]
M/M/S/S e.g. 电话系统
到达：$\lambda$的指数分布
消灭: $n\mu$的指数分布 (n是客户数量)
窗口数:$N$
M/M/1/$\infty$
M/M/1
过程进入状态n的速率等于过程离开状态n的速率。
于是我们可以得到第一个概率方程 $\lambda P_0=\mu P_1$
$P_1=\frac{\lambda}{\mu}P_0$
…
$P_{n+1}=\frac{\lambda}{\mu}P_n+(P_n-\frac{\lambda}{\mu}P_{n-1})=(\frac{\lambda}{\mu})^{n+1}P_0$
排队价格等式:
顾客平均数=L=
求和函数 $\sum_n nx^n$:转换成$\sum_n (n+1)x^n-x^n$,前面一项是求导
W=L\ $\lambda$ (平均等待时间)
$W_Q=W-E[S]=W-\frac{1}{\mu}$ (平均等待排队时间)
$L_Q=\lambda W_Q$ (排队等待的平均用户数量)M/M/S/$\infty$
2.经典排队模型
其格式为： A/B/n/S/Z
- A：顾客到达的规律；B：服务时间分布；n：服务台数目；S：队列容量的大小；Z：服务规程
若队列容量大小为∞时，可简化为A/B/n/Z
若还为先来先服务时，可简化为A/B/n
其中A、B的分布可用以下字母表示：
M（Markov）：若描述到达（A），则表示泊松到达；若描述服务（B），则指具有指数分布的时间。
G（General）：一般分布。
Ek（Erlang）：表示到达间隔或服务间隔服从k阶爱尔朗分布
还有D：定长分布（常数间隔）、H：超几何分布、L：H项式分布
典型的Z有：FCFS、LCFS、PR、RSS
3.基本排队关系
由利特尔法则（Little’s Law），有以下公式：
（1）$L_q=λW_q$
Wq是一个顾客平均排队等待的时间，λ是顾客平均到达率，所以在Wq时间内有λWq个顾客到达，Lq表示排队等待服务的平均顾客数量，故Lq=λWq。
（2）L=λW
系统中的平均顾客数（L）（包括等待的和正在被服务的顾客）等于顾客的平均到达率（λ）乘以一个顾客在系统中花费的平均时间（W）。
（3）W=Wq+1/μ
一个顾客在系统中花费的时间（W），就是它等待的时间（Wq）加上被服务的时间（1/μ）。
四、几个常用的排队模型
1.排队模型与生灭过程：
※如果用N(t)表示时刻t系统中的顾客数，则{N(t),t>=0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t>=0}是一类特殊的随机过程——生灭过程。
※服务台忙的时间比率（服务强度）：顾客到达速率/服务速率，即ρ=λ/μ.
生灭排队模型，到达速率与离开速率依赖于系统中客户数目
（1）M/M/1：
$\lambda_n=\lambda\\\mu_n=\mu$
(2) 障碍M/M/1
$\lambda_n=\lambda\alpha_n\\\mu_n=\mu$
发现有n人时，以a_n的概率加入系统
有限容量n: a_n=1(n
小于k时每个客户都能接受服务。离开速率就是$n\mu$
P_n是有n人的时间比例
